BAB I
PENDAHULUAN
I.1 Latar Belakang
Gelombang zat, atau gelombang pengarah (pemandu) telah menjadi bagian khasanah ilmu Fisika pada tahun 1925 dengan ditandai oleh munculnya hipotesa de-Broglie. Hipotesa tentang gelombang pengarah sangat diilhami oleh studi mengenai gerak elektron dalam atom Bohr. Gelombang zat yang senantiasa menyertai gerak suatu zarah melengkapkan pandangan tentang dualisme zarah gelombang. Dengan demikian perbedaan antara cahaya dan zarah, atau lebih tegasnya antara gelombang dan zarah menjadi hilang. Gelombang cahaya dapat berperilaku sebagai zarah, sebaliknya zarah dapat berperilaku sebagai gelombang. Pandangan semacam itu sangat berbeda dengan persepsi manusia tentang gejal-gajal fisik konkret yang dialami nya sehari-hari. Sejak abad ke-20 teori-teori klasik mulai dipertanyakan kesahihannya untuk dipergunakan di tingkat atom yang sub-atom. Satu tahun setelah postulat de-Broglie disebarluaskan seorang ahli fisika dari Austria, Erwin Schrodinger berhasil merumuskan suatu persamaan diferensial umum untuk gelombang de-Broglie dan dapat ditunjukkan pula kesahihannya untuk berbagai gerak elektron. Persamaan diferensial ini yang selanjutnya dikenal sebagai persamaan gelombang Schrodinger sebagai pembuka jalan ke arah perumusan suatu teori mekanika kuantum yang komprehensip dan lebih formalistik. Pada tahun 1927, satu tahun setelah Schrodinger merumuskan persamaan gelombangnya, Heisenberg merumuskan suatu prinsip yang bersifat sangat fundamental. Prinsip ini dirumuskan pada waktu orang sedang sibuk mempelajari persamaan Schrodinger dan berusaha keras untuk dapat memahami maknanya. Pada tahun 1926, Heisenberg juga muncul dengan suatu cara baru untuk menerangkan garis-garis spektrum yang dipancarkan oleh sistem atom. Pendekatannya sangat lain, karena yang digunakannya adalah matriks. Hasil yang diperoleh dengan cara ini sama dengan apa yang diperoleh melalui persamaan Schrodinger. Mekanika kuantumnya Heisenberg dikenal sebagai mekanika matriks. Secara kronologis prinsip Heisenberg muncul sesudah dirumuskannya persamaan Schrodinger. Tetapi sebagai suatu prinsip teoritik hal itu merupakan suatu hal yang fundamental, dan dapat disejajarkan dengan teori kuantum Einstein, postulat de-Broglie, dan postulat Bohr. Oleh karenanya dalam pembahasannya prinsip Heisenberg ditampilkan lebih dahulu dari persamaan Schrodinger. Teori Planck tentang radiasi thermal, teori einstein tentang foton, teori Bohr tentang atom Hidrogen, dan postulat de-Broglie tentang gelombang zat, serta prinsip Heisenberg dikenal sebagai teori kuantum lama. Dalam teori kuantum lama terkandung hampir semua landasan bagi suatu teori yang dapat menguraikan perilaku sistem-sistem fisika pada tingkat atom dan sub-atom.
BAB II
PEMBAHASAN
II.1 Hubungan Ketidakpastian Heinsenberg
Dengan menggunakan hubungan mendasar deBroglie bersama dengan pernyataan kita dapati , yang mengaitkan momentum sebuah partikel dengan bilangan gelombang dari gelombang deBroglie-nya. Mengigat gabungan sering sekali muncul dalam mekanika gelombang, maka untuknya diberikan lambang khusus h (“h coret”)
h
Dengan menggunakan h maka :
(4.5)
Sehingga
Dengan demikian, dari hubungan ketidakpastian kita peroleh:
(4.6)
Penulisan tikalas x pada momentum adalah untuk mengingatkan kita bahwa persamaan (4.6) berlaku bagi gerak sepanjang suatu arah tertentu, yang menyatakan ketidakpastian dalam kedudukan dan momentum hanya pada arah tersebut. Hubungan serupa yang tidak bergantungan dapat diterapakan pula pada arah-arah lainnya. Jadi berlaku pula:
Atau
Hubungan deBroglie dapat dituliskan jadi sehingga hubungan ketidakpastian (4.4) menjadi:
Persamaan (4.6) dan (4.7) dikenal sebagai hubungan ketidakpastian heinsberg.
II.2 Paket Gelombang
Kedudukan sebuah gelombang sinus (atau kosinus) murni sama sekali tidak terbatasi, ia meluas dari hingga + sebaliknya, kedudukan sebuah partikel klasik, terbatasi secara tegas. Tetapi, dengan deskripsi kuantum yang mencampuradukkan partikel dan gelombang, kedudukan partikel menjadi tidak lagi terbatasi secara tegas. Sebuah elektron yang terikat pada sebuah atom tertentu. Misalnya, kedudukannya dapat kita ketahui hingga ketidakpastian dalam orde diameter atom (10-10m), tetapi kita sama sekali tidak mengetahui secara pasti dimana ia berada dalam atom. Metode yang dipakai dalam fisika untuk melukiskan situasi seperti ini adalah dengan menggunakan konsep paket gelombang (wave packet). Sebuah paket gelombang dapat dipandang sebagai supersposisi sejumlah besar gelombang, yang berinterferensi secara maksimum disekitar partikel, sehingga menghasilkan sebuah gelombang resultan dengan amplitudo yang lebih besar.sebaliknya, pada tempat yang jauh dari partikel, mereka berinterferensi secara minimum, sehingga gelombang resultannya memiliki amplitudo yang lebih kecil pada tempat dimana partikelnya kita perkirakan tidak ditemukan. Tafsiran yang pasti mengenai amplitudo yang besar dan kecil ini akan dibahas dalam pasal berikut. Disini kita hanya akan merumuskan uraian matematika dari paket gelombang ini dan membahas beberapa sifatnya.
Marilah kita tinjau terlebih dulu sebuah gelombang dengan bilangan gelombang k1 kemudian menambahkan padanya sebuah gelombang lain dengan bilangan gelombang yang hampir sama k2 = k1 +. Bentuk gelombang perpaduannya, yang diperlihatkan pada gambar 3.12, mengilustrasikan gejala layanan. Komponen-komponen gelombangnya pada x = 0 bergetar dengan fase sama, sehingga gelombang resultannya memiliki amplitudo maksimum disana. Semakin jauh dari x = 0, perbedaan kecil dalam gelombang akan menyebabkan fase kedua gelombang sinus ini menjadi berlawanan, sehingga gelombang resultannya memiliki amplitudo 0. Dengan sedikit manipulasi trigonometri kita peroleh hasil
Y(x) = A cos k1x + A cos k2X
= 2A cos (4.10)
Suku terakhir persamaan diatas memberikan perubahan amplitudo gelombang resultan dalam selubung yang dicirikan oleh suku kosinus yang pertama.
Marilah sekarang kita tinjau gelombang-gelombang ini sebagai gelombang rambat, yang deskripsi matematikanya diperoleh dari persamaan (4.10) dengan mensubstitusikan pada kx. Frekuensi sudutnya adalah , dan v = adalah kecepatan fase gelombangnya, laju yang dengannya satu komponen gelombang bergerak melalui zat perantara. Kedua komponen gelombang ini diperlihatkan lagi pada gambar 4.18 untuk t = 0 dan waktu t berikutnya. Pada umumnya, kecepatan fase v1 =1/k1 dan v2 = 2/k2 dapat tidak sama.perhatikan bahwa selubungnya bergerak dengan kecepatan yang berbeda dari masing-masing komponen gelombangnya. Sekali lagi, kita dapat menurunkan pernyataan eksplisit bagi gelombang resultannya dengan melakukan sedikit manipulasi trigonometri yang memberikan hasil :
(4.11)
Dimana jadi, selubungnya bergerak dengan laju sedangkan didalamnya bergerak dengan laju yang mana, jika dan kecil, tidak terlalu berbeda jauh dari v1dan v2.
Hampiran yang lebih baik dapat kita buat dengan menjumlahkan lebih banyak gelombangb sinus dengan bilangan gelombang ki yang berbeda, dan amplitudo A(ki) yang mungkin pula berbeda :
i)cos kix (4.12)
Jika terdapat banyak bilangan gelombang yang berbeda dan jika mereka sangat berdekatan, maka jumlah dalam persamaan (4.12) dapat digantikan dengan suatu integral :
(4.13)
Integralnya diambil untuk seluruh rentang bilangan gelombang yang diperkenankan (dapat terjadi dari 0 hingga ).
Sebagai contoh, andaikanlah kita mempunyai suatu rentang bilangan gelombang dari k0- hingga k0+. Jika semua komponen gelombang memiliki amplitudo A yang sama, maka dari persamaan (4.13), bentuk paket gelombangnya dapat diperlihatkan diberikan oleh :
(4.14)
Fungsi cos k0x berosilasi dalam gelombang selubung (2A/x) sin (.
Hampiran bentuk paket gelombang yang lebih baik dapat diperoleh dengan mengambil A(k) berubah-ubah. sebagai contoh, bentuk fungsi Gauss memberikan
Y(x) e-(kx)2/2 cos k0x (4.15)
Dalam kasus dua gelombang yang kita gunakan dalam persamaan (4.11), kita dapati bahwa gelombang selubungnya bergerak dengan laju kasus sederhana ini kemudian kita perluas kekasus dimana terdapat banyak bilangan gelombang tidak sama dengan mendefinisikan kecepatan group sebagai berikut
Vgruop = (4.16)
Selubung paket gelombang ini bergerak dengan pada kecepatan group, sedangkan didalamnya, setiap komponen gelombang bergerak dengan kecepatan fase masing-masing
Vfase = (4.17)
Kecepatan fase hanya bermakna bagi satu komponen gelombang, tidak terdefinisikan bagi, paket gelombang.
Contoh soal
Gelombang laut tertentu merambat dengan kecepatan fase vfase =, dimana g adalah percepatan gravitasi. Bagaimanakah bentuk kecepatan group “paket gelombang” dari gelombang-gelombang ini? Nyatakan hasilnya dalam kecepatan fase.
pemecahan
Kecepatan group ini kita peroleh dari persamaan (4.16) karena maka vfase = Tetapi dengan Vfase =, kita peroleh , jadi dan(1/2k-1/2)dk. Oleh karena itu, , jadi vgroup = vgroup
Jadi, sebuah partikel yang terbatasi kedudukannya pada suatu bagian ruang tertentu tidak hanya dinyatakan oleh satu gelombang debroglie dengan energi dan frekuensi tertentu. Tetapi oleh sebuah paket gelombang yang merupakan superposisi dari sejumlah besar gelombang. Selubung gelombangnya bergerak pada kecepatan grup. Bahasan kita ini barulah lengkap jika kita dapat memberi tafsiran fisika dari kecepatan group.
II.3 Probalitas dan Keacakan
Pengukuran sekali terhadap kedudukan atau momentum partikel dapat dilakukan seteliti yang dapat dicapai oleh keterampilan eksperimental kita. Lalu, bagaimanakah perilaku gelombang sebuah partikel dapat kita amati? Bagaimanakah ketidakpastian dalam kedudukan dan momentum mempengaruhi percobaan kita?
Prosedur matematika yang demikian memang disediakan teori kuantum. Perlu dicatat bahwa teori matematika mekanika kuantum memungkinkan kita menghitung rata-rata atau hasil pengukuran yang mungkin diperoleh dan distribusi dari setiap hasil pengukuran sekitar hasil rata-ratanya. Sepintas lalu ini tampaknya tidak menguntungkan, namun sebenarnya tidaklah demikian, karena dalam alam fisika kuantum, kita jarang melakukan pengukuran terhadap, misalnya sebuah atom. Jika kita sedang mempelajari pemancaran cahaya oleh sebuah sistem pemancar cahaya, atau sifat dari sebuah zat padat, atau hamburan partikel inti atom, kita berhadapan dengan sejumlah besar atom, sehingga konsep kita tentang rata-rata statistik benar-benar terasa bermanfaat.
Konsep-konsep statistik ini banyak kita terapkan dalam pengalaman sehari-hari. Sebagai contoh, fisika kuantum meramalkan bahwa bagi atom-atom hidrogen yang dipersiapkan secara identik, probabilitas untuk menemukan elektron beredar searah perputaran jam adalah 50 persen. Tentu saja, pengukuran sekali akan memperlihatkan gerak yang searah atau berlawanan perputaran jam saja, bukan gabungan dari keduanya. Ciri khas matematika mekanika kuantum ini kadang-kadang membingungkan, karena kita tidak dapat mengetahui sebelumnya hasil suatu pengukuran, maka deskripsi lengkap suatu sistem (atom misalnya) haruslah mencakup semua hasil pengukuran yang mungkin diperoleh.
Tentu saja, seorang dapat berdalih bahwa pelemparan sebuah mata uang atau dadu bukanlah suatu proses acak, akan tetapi hakikat keacakan hasilnya itu menunjukkan bahwa pengetahuan kita tentang keadaan sistemnyalah yang kurang lengkap. Sebaliknya, apabila kita menganalisis hasil yang akan diperoleh berdasarkan probabilitas, maka kita sebenarnya mengakui kelemahan kita untuk melakukan analisisnya secara pasti. Ada aliran paham yang mengatakan bahwa hal yang sama terjadi dalam fisika kuantum. Menurut aliran tafsiran ini, kita sebenarnya dapat meramalkan secara pasti perilaku elektron di dalam atom, jika kita dapat mengetahui hakikat dari sehimpunan besaran yang disebut “variabel tersembunyi” yang menentukan geraknya. Tetapi, karena tidak ada bukti yang menguatkan teori tersebut. Kita haruslah berkesimpulan bahwa perilaku acak dari sebuah sistem yang tunduk pada hukum-hukum fisika kuantum adalah suatu aspek alam mendasar, bukanlah hasil dari keterbatasan pengetahuan kita tentang sifat-sifat sistemnya.
II.4 Amplitudo Probalitas
Dalam salah satu pasal didepan, kita membahas pernyataan sebuah partikel yang terbatasi kedudukannya dengan sebuah paket gelombang. Jika partikelnya terbatasi pada suatu bagian ruang berukuran Δx, maka paket gelombang yang menyatakan partikel tersebut hanyalah memiliki amplitudo yang besar dalam daerah yang berukuran Δx itu, sedangkan diluarnya amplitudo paket gelombangnya kecil. Artinya amplitudo paket gelombang itu besar pada tempat dimana partikelnya berada, dan kecil pada daerah dimana kemungkinan mendapatkan partikel itu kecil. Jadi, amplitudo gelombang deBroglie (sebuah partikel) pada sebarang titik berkaitan dengan probabilitas untuk menemukan partikel yang bersangkutan pada titik tersebut. Analogi dengan fisika klasik, bahwa intensitas sebuah gelombang berbanding lurus dengan kuadrat amplitudonya, maka probabilitas ini juga berbanding lurus dengan kuadrat amplitudo gelombang deBroglie. Dalam bab berikut kita akan membahas kerangka matematika untuk menghitung amplitudo bagi sebuah partikel yang berada dalam beraneka ragam situasi, dan juga membahas definisi probabilitas yang lebih matematis. Kesulitan kita untuk menafsirkan secara tepat amplitudo gelombang ini sebagian disebabkan karena amplitudo gelombang adalah suatu besaran kompleks. (Suatu variabelkompleks, seperti amplitudo probabilitas, adalah variabel yang mengandung suatu bagian imajiner, yang berbanding lurus dengan akar kuadrat dari -1, yang dilambangkan dengan i; lihat pasal 5.6). karena kita tidak dapat mengungkapkan variabel-variabel tersebut dengan sistem bilangan real (tidak imajiner) kita, maka kita tidak dapat menafsirkan atau mengukur langsung amplitudo gelombangnya. Tetapi, probabilitas didefinisikan dalam nilai mutlak dari kuadrat amplitudo; karena hasilnya selalu merupakan suatu bilangan real, maka kita tidak sulit menafsirkannya.
Meskipun amplitudo gelombang deBroglie tidak mudah ditafsirkan, gelombang deBroglie memiliki semua ciri khas dari sebuah gelombang klasik yang berprilaku baik. Sebagai contoh, ia dapat dipantulkan dan dibiaskan, ia memenuhi asas superposisi, dan gelombang-gelombang deBroglie yang merambat dalam arah-arah yang berlawanan dapat berpadu membentuk sebuah gelombang berdiri.
BAB III
PENUTUP
III.1 Kesimpulan
Konsep klasik tentang lintasan kurang bermakna bila dipergunakan dalam menelaah sistem fisika tingkat atom, karena pada sistem ini, sistem pengamatan dan sistem yang diamati saling mempengaruhi. Konsep lintasan yang klasik harus diganti dengan pendekatan statistik, yaitu dengan menyatakannya dalam besarnya kebolehjadian bahwa suatu zarah berada di suatu kedudukan tertentu pada saat tertentu pula.
Konsep statistik tentang kedudukan dapat diungkapkan secara matematik oleh Heisenberg dengan menggunakan eksperimen gendanken (percobaan dalam benak) sebagai berikut. Andaikan elektron diamati melalui mikroskop dengan menggunakan foton-foton yang dipancarkan sumber cahaya.
q adalah sudut maksimum sedemikian hingga foton yang datang dari kedudukan masih dapat masuk dalam sistem optik mikroskop. Andaikan suatu foton datang dari sumber cahaya dalam arah dengan momentum linear sebesar :
Foton ini menumbuk elektron, dan kemudian terhambur dengan sudut q terhadap sumbu optik mikroskop. Momentum linear foton terhambur, dalam arah x adalah :
dalam arah yang bertolak belakang dengan arah px’.
hal ini berarti bahwa elektron dapat terlihat dalam mikroskop apabila momentum linear foton berada dalam daerah antara :
dan
Dengan demikian ketidakpastian momentum foton adalah :
Hal ini berarti juga bahwa elektron akan terlihat bila ketidakpastian momentum linearnya memiliki nilai :
Permasalahannya sekarang adalah : Bagaimanakah kedudukan elektron dalam arah-x ? Jika digunakan cahaya dengan panjang gelombang l, maka daya pisah (resolusi) mikroskop tersebut adalah :
Artinya jarak yang lebih kecil dari ini tidak dapat dibedakan lagi. Kedudukan elektron tak dapat ditentukan dengan ketakpastian yang lebih kecil. Oleh karena itu agar elektron masih dapat dilihat dengan mikroskop maka sekaligus harus dipenuhi bahwa :
dan
Perkalian kedua persamaan tersebut menghasilkan :
Suatu telaah yang lebih eksak memberikan hubungan :
Persamaan (8.6) merupakan prinsip ketidakpastian Heisenberg, ketidakpastian momentum dan posisi suatu zarah tidak dapat lepas satu dari lainnya. Apabila dituntut ketakpastian yang tak berhingga bagi harga posisi elektron (Dx=0), maka tidak akan diperoleh sama sekali informasi mengenai besarnya momentum linear elektron (Dpx=~), dan sebaliknya.
Ketidakpastian bukan lagi bergantung dari ketelitian alat, akan tetapi merupakan sesuatu yang fundamental, sesuatu yang hakiki dengan dunia fisika pada tingkat atom.
Di tingkat mikroskopis, prinsip ketakpastian Heisenberg menjadi tidak relevan. Hal itu dapat diperkirakan dengan mengambil contoh yang konkrit. Selanjutnya prinsip ketidakpastian Heisenberg dapat dikembangkan dalam tiga dimensi menjadi
dan dapat dijabarkan pula ketidakpastian energi dan waktu sebagai berikut :
DAFTAR PUSTAKA
A. H. Compton dan S. K. Allison, X Rays in Theory and Experiment (New York, Van Nostrand, 1935).
F. K. Richtmeyer, E. H. Kennard, dan J. N. Cooper, Introduction to Modern Physics, edisi ke-6 (New York, Wiley, 1974).
G. L. Clark, Applied X Rays (New York, McGraw-Hill, 1940).
L. Bragg, “X-Ray Crystallography”, Scientific American 219, 58 (Juli 1968).
R. Eisberg dan R. Resnick, Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei, and Particles (New York, Wiley, 1974).
PENDAHULUAN
I.1 Latar Belakang
Gelombang zat, atau gelombang pengarah (pemandu) telah menjadi bagian khasanah ilmu Fisika pada tahun 1925 dengan ditandai oleh munculnya hipotesa de-Broglie. Hipotesa tentang gelombang pengarah sangat diilhami oleh studi mengenai gerak elektron dalam atom Bohr. Gelombang zat yang senantiasa menyertai gerak suatu zarah melengkapkan pandangan tentang dualisme zarah gelombang. Dengan demikian perbedaan antara cahaya dan zarah, atau lebih tegasnya antara gelombang dan zarah menjadi hilang. Gelombang cahaya dapat berperilaku sebagai zarah, sebaliknya zarah dapat berperilaku sebagai gelombang. Pandangan semacam itu sangat berbeda dengan persepsi manusia tentang gejal-gajal fisik konkret yang dialami nya sehari-hari. Sejak abad ke-20 teori-teori klasik mulai dipertanyakan kesahihannya untuk dipergunakan di tingkat atom yang sub-atom. Satu tahun setelah postulat de-Broglie disebarluaskan seorang ahli fisika dari Austria, Erwin Schrodinger berhasil merumuskan suatu persamaan diferensial umum untuk gelombang de-Broglie dan dapat ditunjukkan pula kesahihannya untuk berbagai gerak elektron. Persamaan diferensial ini yang selanjutnya dikenal sebagai persamaan gelombang Schrodinger sebagai pembuka jalan ke arah perumusan suatu teori mekanika kuantum yang komprehensip dan lebih formalistik. Pada tahun 1927, satu tahun setelah Schrodinger merumuskan persamaan gelombangnya, Heisenberg merumuskan suatu prinsip yang bersifat sangat fundamental. Prinsip ini dirumuskan pada waktu orang sedang sibuk mempelajari persamaan Schrodinger dan berusaha keras untuk dapat memahami maknanya. Pada tahun 1926, Heisenberg juga muncul dengan suatu cara baru untuk menerangkan garis-garis spektrum yang dipancarkan oleh sistem atom. Pendekatannya sangat lain, karena yang digunakannya adalah matriks. Hasil yang diperoleh dengan cara ini sama dengan apa yang diperoleh melalui persamaan Schrodinger. Mekanika kuantumnya Heisenberg dikenal sebagai mekanika matriks. Secara kronologis prinsip Heisenberg muncul sesudah dirumuskannya persamaan Schrodinger. Tetapi sebagai suatu prinsip teoritik hal itu merupakan suatu hal yang fundamental, dan dapat disejajarkan dengan teori kuantum Einstein, postulat de-Broglie, dan postulat Bohr. Oleh karenanya dalam pembahasannya prinsip Heisenberg ditampilkan lebih dahulu dari persamaan Schrodinger. Teori Planck tentang radiasi thermal, teori einstein tentang foton, teori Bohr tentang atom Hidrogen, dan postulat de-Broglie tentang gelombang zat, serta prinsip Heisenberg dikenal sebagai teori kuantum lama. Dalam teori kuantum lama terkandung hampir semua landasan bagi suatu teori yang dapat menguraikan perilaku sistem-sistem fisika pada tingkat atom dan sub-atom.
BAB II
PEMBAHASAN
II.1 Hubungan Ketidakpastian Heinsenberg
Dengan menggunakan hubungan mendasar deBroglie bersama dengan pernyataan kita dapati , yang mengaitkan momentum sebuah partikel dengan bilangan gelombang dari gelombang deBroglie-nya. Mengigat gabungan sering sekali muncul dalam mekanika gelombang, maka untuknya diberikan lambang khusus h (“h coret”)
h
Dengan menggunakan h maka :
(4.5)
Sehingga
Dengan demikian, dari hubungan ketidakpastian kita peroleh:
(4.6)
Penulisan tikalas x pada momentum adalah untuk mengingatkan kita bahwa persamaan (4.6) berlaku bagi gerak sepanjang suatu arah tertentu, yang menyatakan ketidakpastian dalam kedudukan dan momentum hanya pada arah tersebut. Hubungan serupa yang tidak bergantungan dapat diterapakan pula pada arah-arah lainnya. Jadi berlaku pula:
Atau
Hubungan deBroglie dapat dituliskan jadi sehingga hubungan ketidakpastian (4.4) menjadi:
Persamaan (4.6) dan (4.7) dikenal sebagai hubungan ketidakpastian heinsberg.
II.2 Paket Gelombang
Kedudukan sebuah gelombang sinus (atau kosinus) murni sama sekali tidak terbatasi, ia meluas dari hingga + sebaliknya, kedudukan sebuah partikel klasik, terbatasi secara tegas. Tetapi, dengan deskripsi kuantum yang mencampuradukkan partikel dan gelombang, kedudukan partikel menjadi tidak lagi terbatasi secara tegas. Sebuah elektron yang terikat pada sebuah atom tertentu. Misalnya, kedudukannya dapat kita ketahui hingga ketidakpastian dalam orde diameter atom (10-10m), tetapi kita sama sekali tidak mengetahui secara pasti dimana ia berada dalam atom. Metode yang dipakai dalam fisika untuk melukiskan situasi seperti ini adalah dengan menggunakan konsep paket gelombang (wave packet). Sebuah paket gelombang dapat dipandang sebagai supersposisi sejumlah besar gelombang, yang berinterferensi secara maksimum disekitar partikel, sehingga menghasilkan sebuah gelombang resultan dengan amplitudo yang lebih besar.sebaliknya, pada tempat yang jauh dari partikel, mereka berinterferensi secara minimum, sehingga gelombang resultannya memiliki amplitudo yang lebih kecil pada tempat dimana partikelnya kita perkirakan tidak ditemukan. Tafsiran yang pasti mengenai amplitudo yang besar dan kecil ini akan dibahas dalam pasal berikut. Disini kita hanya akan merumuskan uraian matematika dari paket gelombang ini dan membahas beberapa sifatnya.
Marilah kita tinjau terlebih dulu sebuah gelombang dengan bilangan gelombang k1 kemudian menambahkan padanya sebuah gelombang lain dengan bilangan gelombang yang hampir sama k2 = k1 +. Bentuk gelombang perpaduannya, yang diperlihatkan pada gambar 3.12, mengilustrasikan gejala layanan. Komponen-komponen gelombangnya pada x = 0 bergetar dengan fase sama, sehingga gelombang resultannya memiliki amplitudo maksimum disana. Semakin jauh dari x = 0, perbedaan kecil dalam gelombang akan menyebabkan fase kedua gelombang sinus ini menjadi berlawanan, sehingga gelombang resultannya memiliki amplitudo 0. Dengan sedikit manipulasi trigonometri kita peroleh hasil
Y(x) = A cos k1x + A cos k2X
= 2A cos (4.10)
Suku terakhir persamaan diatas memberikan perubahan amplitudo gelombang resultan dalam selubung yang dicirikan oleh suku kosinus yang pertama.
Marilah sekarang kita tinjau gelombang-gelombang ini sebagai gelombang rambat, yang deskripsi matematikanya diperoleh dari persamaan (4.10) dengan mensubstitusikan pada kx. Frekuensi sudutnya adalah , dan v = adalah kecepatan fase gelombangnya, laju yang dengannya satu komponen gelombang bergerak melalui zat perantara. Kedua komponen gelombang ini diperlihatkan lagi pada gambar 4.18 untuk t = 0 dan waktu t berikutnya. Pada umumnya, kecepatan fase v1 =1/k1 dan v2 = 2/k2 dapat tidak sama.perhatikan bahwa selubungnya bergerak dengan kecepatan yang berbeda dari masing-masing komponen gelombangnya. Sekali lagi, kita dapat menurunkan pernyataan eksplisit bagi gelombang resultannya dengan melakukan sedikit manipulasi trigonometri yang memberikan hasil :
(4.11)
Dimana jadi, selubungnya bergerak dengan laju sedangkan didalamnya bergerak dengan laju yang mana, jika dan kecil, tidak terlalu berbeda jauh dari v1dan v2.
Hampiran yang lebih baik dapat kita buat dengan menjumlahkan lebih banyak gelombangb sinus dengan bilangan gelombang ki yang berbeda, dan amplitudo A(ki) yang mungkin pula berbeda :
i)cos kix (4.12)
Jika terdapat banyak bilangan gelombang yang berbeda dan jika mereka sangat berdekatan, maka jumlah dalam persamaan (4.12) dapat digantikan dengan suatu integral :
(4.13)
Integralnya diambil untuk seluruh rentang bilangan gelombang yang diperkenankan (dapat terjadi dari 0 hingga ).
Sebagai contoh, andaikanlah kita mempunyai suatu rentang bilangan gelombang dari k0- hingga k0+. Jika semua komponen gelombang memiliki amplitudo A yang sama, maka dari persamaan (4.13), bentuk paket gelombangnya dapat diperlihatkan diberikan oleh :
(4.14)
Fungsi cos k0x berosilasi dalam gelombang selubung (2A/x) sin (.
Hampiran bentuk paket gelombang yang lebih baik dapat diperoleh dengan mengambil A(k) berubah-ubah. sebagai contoh, bentuk fungsi Gauss memberikan
Y(x) e-(kx)2/2 cos k0x (4.15)
Dalam kasus dua gelombang yang kita gunakan dalam persamaan (4.11), kita dapati bahwa gelombang selubungnya bergerak dengan laju kasus sederhana ini kemudian kita perluas kekasus dimana terdapat banyak bilangan gelombang tidak sama dengan mendefinisikan kecepatan group sebagai berikut
Vgruop = (4.16)
Selubung paket gelombang ini bergerak dengan pada kecepatan group, sedangkan didalamnya, setiap komponen gelombang bergerak dengan kecepatan fase masing-masing
Vfase = (4.17)
Kecepatan fase hanya bermakna bagi satu komponen gelombang, tidak terdefinisikan bagi, paket gelombang.
Contoh soal
Gelombang laut tertentu merambat dengan kecepatan fase vfase =, dimana g adalah percepatan gravitasi. Bagaimanakah bentuk kecepatan group “paket gelombang” dari gelombang-gelombang ini? Nyatakan hasilnya dalam kecepatan fase.
pemecahan
Kecepatan group ini kita peroleh dari persamaan (4.16) karena maka vfase = Tetapi dengan Vfase =, kita peroleh , jadi dan(1/2k-1/2)dk. Oleh karena itu, , jadi vgroup = vgroup
Jadi, sebuah partikel yang terbatasi kedudukannya pada suatu bagian ruang tertentu tidak hanya dinyatakan oleh satu gelombang debroglie dengan energi dan frekuensi tertentu. Tetapi oleh sebuah paket gelombang yang merupakan superposisi dari sejumlah besar gelombang. Selubung gelombangnya bergerak pada kecepatan grup. Bahasan kita ini barulah lengkap jika kita dapat memberi tafsiran fisika dari kecepatan group.
II.3 Probalitas dan Keacakan
Pengukuran sekali terhadap kedudukan atau momentum partikel dapat dilakukan seteliti yang dapat dicapai oleh keterampilan eksperimental kita. Lalu, bagaimanakah perilaku gelombang sebuah partikel dapat kita amati? Bagaimanakah ketidakpastian dalam kedudukan dan momentum mempengaruhi percobaan kita?
Prosedur matematika yang demikian memang disediakan teori kuantum. Perlu dicatat bahwa teori matematika mekanika kuantum memungkinkan kita menghitung rata-rata atau hasil pengukuran yang mungkin diperoleh dan distribusi dari setiap hasil pengukuran sekitar hasil rata-ratanya. Sepintas lalu ini tampaknya tidak menguntungkan, namun sebenarnya tidaklah demikian, karena dalam alam fisika kuantum, kita jarang melakukan pengukuran terhadap, misalnya sebuah atom. Jika kita sedang mempelajari pemancaran cahaya oleh sebuah sistem pemancar cahaya, atau sifat dari sebuah zat padat, atau hamburan partikel inti atom, kita berhadapan dengan sejumlah besar atom, sehingga konsep kita tentang rata-rata statistik benar-benar terasa bermanfaat.
Konsep-konsep statistik ini banyak kita terapkan dalam pengalaman sehari-hari. Sebagai contoh, fisika kuantum meramalkan bahwa bagi atom-atom hidrogen yang dipersiapkan secara identik, probabilitas untuk menemukan elektron beredar searah perputaran jam adalah 50 persen. Tentu saja, pengukuran sekali akan memperlihatkan gerak yang searah atau berlawanan perputaran jam saja, bukan gabungan dari keduanya. Ciri khas matematika mekanika kuantum ini kadang-kadang membingungkan, karena kita tidak dapat mengetahui sebelumnya hasil suatu pengukuran, maka deskripsi lengkap suatu sistem (atom misalnya) haruslah mencakup semua hasil pengukuran yang mungkin diperoleh.
Tentu saja, seorang dapat berdalih bahwa pelemparan sebuah mata uang atau dadu bukanlah suatu proses acak, akan tetapi hakikat keacakan hasilnya itu menunjukkan bahwa pengetahuan kita tentang keadaan sistemnyalah yang kurang lengkap. Sebaliknya, apabila kita menganalisis hasil yang akan diperoleh berdasarkan probabilitas, maka kita sebenarnya mengakui kelemahan kita untuk melakukan analisisnya secara pasti. Ada aliran paham yang mengatakan bahwa hal yang sama terjadi dalam fisika kuantum. Menurut aliran tafsiran ini, kita sebenarnya dapat meramalkan secara pasti perilaku elektron di dalam atom, jika kita dapat mengetahui hakikat dari sehimpunan besaran yang disebut “variabel tersembunyi” yang menentukan geraknya. Tetapi, karena tidak ada bukti yang menguatkan teori tersebut. Kita haruslah berkesimpulan bahwa perilaku acak dari sebuah sistem yang tunduk pada hukum-hukum fisika kuantum adalah suatu aspek alam mendasar, bukanlah hasil dari keterbatasan pengetahuan kita tentang sifat-sifat sistemnya.
II.4 Amplitudo Probalitas
Dalam salah satu pasal didepan, kita membahas pernyataan sebuah partikel yang terbatasi kedudukannya dengan sebuah paket gelombang. Jika partikelnya terbatasi pada suatu bagian ruang berukuran Δx, maka paket gelombang yang menyatakan partikel tersebut hanyalah memiliki amplitudo yang besar dalam daerah yang berukuran Δx itu, sedangkan diluarnya amplitudo paket gelombangnya kecil. Artinya amplitudo paket gelombang itu besar pada tempat dimana partikelnya berada, dan kecil pada daerah dimana kemungkinan mendapatkan partikel itu kecil. Jadi, amplitudo gelombang deBroglie (sebuah partikel) pada sebarang titik berkaitan dengan probabilitas untuk menemukan partikel yang bersangkutan pada titik tersebut. Analogi dengan fisika klasik, bahwa intensitas sebuah gelombang berbanding lurus dengan kuadrat amplitudonya, maka probabilitas ini juga berbanding lurus dengan kuadrat amplitudo gelombang deBroglie. Dalam bab berikut kita akan membahas kerangka matematika untuk menghitung amplitudo bagi sebuah partikel yang berada dalam beraneka ragam situasi, dan juga membahas definisi probabilitas yang lebih matematis. Kesulitan kita untuk menafsirkan secara tepat amplitudo gelombang ini sebagian disebabkan karena amplitudo gelombang adalah suatu besaran kompleks. (Suatu variabelkompleks, seperti amplitudo probabilitas, adalah variabel yang mengandung suatu bagian imajiner, yang berbanding lurus dengan akar kuadrat dari -1, yang dilambangkan dengan i; lihat pasal 5.6). karena kita tidak dapat mengungkapkan variabel-variabel tersebut dengan sistem bilangan real (tidak imajiner) kita, maka kita tidak dapat menafsirkan atau mengukur langsung amplitudo gelombangnya. Tetapi, probabilitas didefinisikan dalam nilai mutlak dari kuadrat amplitudo; karena hasilnya selalu merupakan suatu bilangan real, maka kita tidak sulit menafsirkannya.
Meskipun amplitudo gelombang deBroglie tidak mudah ditafsirkan, gelombang deBroglie memiliki semua ciri khas dari sebuah gelombang klasik yang berprilaku baik. Sebagai contoh, ia dapat dipantulkan dan dibiaskan, ia memenuhi asas superposisi, dan gelombang-gelombang deBroglie yang merambat dalam arah-arah yang berlawanan dapat berpadu membentuk sebuah gelombang berdiri.
BAB III
PENUTUP
III.1 Kesimpulan
Konsep klasik tentang lintasan kurang bermakna bila dipergunakan dalam menelaah sistem fisika tingkat atom, karena pada sistem ini, sistem pengamatan dan sistem yang diamati saling mempengaruhi. Konsep lintasan yang klasik harus diganti dengan pendekatan statistik, yaitu dengan menyatakannya dalam besarnya kebolehjadian bahwa suatu zarah berada di suatu kedudukan tertentu pada saat tertentu pula.
Konsep statistik tentang kedudukan dapat diungkapkan secara matematik oleh Heisenberg dengan menggunakan eksperimen gendanken (percobaan dalam benak) sebagai berikut. Andaikan elektron diamati melalui mikroskop dengan menggunakan foton-foton yang dipancarkan sumber cahaya.
q adalah sudut maksimum sedemikian hingga foton yang datang dari kedudukan masih dapat masuk dalam sistem optik mikroskop. Andaikan suatu foton datang dari sumber cahaya dalam arah dengan momentum linear sebesar :
Foton ini menumbuk elektron, dan kemudian terhambur dengan sudut q terhadap sumbu optik mikroskop. Momentum linear foton terhambur, dalam arah x adalah :
dalam arah yang bertolak belakang dengan arah px’.
hal ini berarti bahwa elektron dapat terlihat dalam mikroskop apabila momentum linear foton berada dalam daerah antara :
dan
Dengan demikian ketidakpastian momentum foton adalah :
Hal ini berarti juga bahwa elektron akan terlihat bila ketidakpastian momentum linearnya memiliki nilai :
Permasalahannya sekarang adalah : Bagaimanakah kedudukan elektron dalam arah-x ? Jika digunakan cahaya dengan panjang gelombang l, maka daya pisah (resolusi) mikroskop tersebut adalah :
Artinya jarak yang lebih kecil dari ini tidak dapat dibedakan lagi. Kedudukan elektron tak dapat ditentukan dengan ketakpastian yang lebih kecil. Oleh karena itu agar elektron masih dapat dilihat dengan mikroskop maka sekaligus harus dipenuhi bahwa :
dan
Perkalian kedua persamaan tersebut menghasilkan :
Suatu telaah yang lebih eksak memberikan hubungan :
Persamaan (8.6) merupakan prinsip ketidakpastian Heisenberg, ketidakpastian momentum dan posisi suatu zarah tidak dapat lepas satu dari lainnya. Apabila dituntut ketakpastian yang tak berhingga bagi harga posisi elektron (Dx=0), maka tidak akan diperoleh sama sekali informasi mengenai besarnya momentum linear elektron (Dpx=~), dan sebaliknya.
Ketidakpastian bukan lagi bergantung dari ketelitian alat, akan tetapi merupakan sesuatu yang fundamental, sesuatu yang hakiki dengan dunia fisika pada tingkat atom.
Di tingkat mikroskopis, prinsip ketakpastian Heisenberg menjadi tidak relevan. Hal itu dapat diperkirakan dengan mengambil contoh yang konkrit. Selanjutnya prinsip ketidakpastian Heisenberg dapat dikembangkan dalam tiga dimensi menjadi
dan dapat dijabarkan pula ketidakpastian energi dan waktu sebagai berikut :
DAFTAR PUSTAKA
A. H. Compton dan S. K. Allison, X Rays in Theory and Experiment (New York, Van Nostrand, 1935).
F. K. Richtmeyer, E. H. Kennard, dan J. N. Cooper, Introduction to Modern Physics, edisi ke-6 (New York, Wiley, 1974).
G. L. Clark, Applied X Rays (New York, McGraw-Hill, 1940).
L. Bragg, “X-Ray Crystallography”, Scientific American 219, 58 (Juli 1968).
R. Eisberg dan R. Resnick, Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei, and Particles (New York, Wiley, 1974).